New PDF release: Analytic theory of continued fractions Proc. Loen

By W. B. Jones

ISBN-10: 0387115676

ISBN-13: 9780387115672

ISBN-10: 3540115676

ISBN-13: 9783540115670

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Example text

Eine Kurve f : [a, b] → Rn heißt rektiſzierbar mit der L¨ange L, wenn zu jedem H > 0 ein G > 0 existiert, so dass f¨ur jede Unterteilung a = t0 < t1 < . . 6 der Feinheit < G gilt |p f (t0, . . ,tk ) − L| < H. Satz 1. Jede stetig differenzierbare Kurve f : [a, b] → Rn ist rektiſzierbar, und f¨ur ihre L¨ange L gilt L= Z b a f (t) dt. Bemerkung. Die stetige Differenzierbarkeit ist nicht notwendig daf¨ur, dass eine Kurve rektiſzierbar ist. Es gibt jedoch stetige Kurven, die nicht rektiſzierbar sind.

Sei U ⊂ Rn offen. Eine Funktion f : U → R heißt partiell differenzierbar, falls Di f (x) f¨ur alle x ∈ U und i = 1, . , n existiert. f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zus¨atzlich alle partiellen Ableitungen Di f : U → R stetig sind. Schreibweise. Statt Di f schreibt man auch Di f (x) = ™f ™ f (x) (x) = . ™xi ™xi ™f . Entsprechend auch ™xi I. 2) Wir betrachten die Funktion r : Rn → R, r(x) := x = f¨ur x = (x1 , . . , xn ) ∈ x21 + . . + x2n Rn . (Abstand vom Nullpunkt) Die Niveaumengen N f (c) = {x ∈ Rn : r(x) = c} sind f¨ur c > 0 Sph¨aren vom Radius c.

Max |aik | i,k i,k Die erste Absch¨atzung ist trivial, die zweite sieht man so: Sei x y = Ax. F¨ur die Komponenten von y gilt dann yi = n È aik xk , 1 und i = 1, . . , m. k=1 Dies kann man auffassen als das Skalarprodukt des Vektors (ai1 , ai2 , . . , ain) mit dem Vektor x. Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt |yi | √ √ √ n D, wobei D = maxi,k |aik |. Daraus folgt y nm D, also A nm D. § 2 Grenzwerte. 1. Seien f , g : X → R zwei stetige Funktionen auf dem metrischen Raum X . F¨ur x ∈ X werde deſniert M(x) := max( f (x), g(x)), \(x) := min( f (x), g(x)).

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